Bất đẳng thức Côsi hay bđt Cauchy là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng với quen thuộc đối với học sinh thcs và thpt ở nước ta.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi và ứng dụng

Bất đẳng thức Côsi có tên gọi đúng là bất đẳng thức giữa mức độ vừa phải cộng với trung bình nhân. Hình như bất đẳng thức Cauchy còn mang tên gọi là bất đẳng thức AM-GM.

Học sinh trung học cơ sở làm quen với bất đẳng thức Cosi từ lớp 8 cùng sử dụng nhiều ở lớp 9 trong các bài điểm 10.

1) Dạng tổng quát mắng của bất đẳng thức Côsi

Cho

*
là các số thực dương ta có:

– Dạng 1:

*

– Dạng 2:

*
x_1cdot x_2cdots " title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="18" width="278" style="vertical-align: -5px;">

– Dạng 3:

*

– Dạng 4:

*

– Dạng 5:

*

Dấu đẳng thức xảy ra khi với chỉ lúc

*

2) Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Côsi

Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát lác ở trên khi n=2, n=3.

*

3) Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

+

*

+

*

+

*

+

*

+

*

4) chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Khi chứng minh bất đẳng thức áp dụng Cô si các em phải xác định giá chỉ trị của biến bằng từng nào thì dấu bằng xảy ra, giá bán trị đó là điểm rơi. Nếu ko xác định đúng mà đã vội áp dụng BĐT Cauchy thì sẽ dẫn đến việc có tác dụng sai bài toán.

5) bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi

Dưới đây là lời giải những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá chỉ trị nhỏ nhất dựa vào bất đẳng thức Côsi và những hệ quả.

Tiếp theo là những kỹ thuật trong lúc áp dụng BĐT Cosi là:

– Kỹ thuật chọn điểm rơi vào đánh giá chỉ từ mức độ vừa phải cộng sang trung bình nhân,

– Kỹ thuật ghép cặp vào bất đẳng thức Côsi

– Kỹ thuật thêm bớt

– Kỹ thuật Côsingược dấu

*
*
*
*
*
*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*
*

*

*
*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*
*

*
*

*

*

*

*

*

*

*

*

*
*

*

*

*

*

*

*

*

*

*
*

*

*

*

*
*

*

*

*

*
*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*
*

*

* Download (click vào để tải về): Tài liệu học Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) dưới đây.

Cùng siêng đề:

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và những kỹ thuật thường dùng >>

giasudhsphn.edu.vn sẽ chia sẻ chuyên sâu kiến thức và kỹ năng của bđt cosi hi vọng nó đã hữu ích giành riêng cho quý chúng ta đọc

giasudhsphn.edu.vn sẽ share chuyên sâu kỹ năng của Bđt cosi hi vọng nó đang hữu ích dành riêng cho quý bạn đọc


Bất đẳng thức Cô
Si (Cauchy) giỏi bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân của n số thực ko âm.

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì?

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực không âm được tuyên bố như sau.

Với $a_1,a_2,ldots,a_n$ là các số thực ko âm, khi ấy $$a_1+a_2+cdots +a_nge nsqrta_1a_2ldots a_n.$$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a_1=a_2=cdots =a_n$.

Chứng minh bất đẳng thức AM-GM đến hai số ko âm bằng hình học

Trung bình cùng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, cùng trung bình cùng chỉ bởi trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bởi nhau.

Các trường hợp quan trọng của bất đẳng thức Cosi:

Bất đẳng thức Cô mê mệt với 2 số thực không âm $a$ cùng $b$ thì: vệt “=” xảy ra khi còn chỉ khi a = b.Bất đẳng thức Cô ham với 3 số thực không âm $a,b$ với $c$ thì: abc> lốt “=” xảy ra khi còn chỉ khi a = b =c.

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều phương pháp để chứng minh bđt này nhưng lại hay nhất là cách chứng tỏ quy nạp của Cauchy.

2. Các dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng bao quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho $x_1, x_2, x_3,…,x_n$ là các số thực dương ta có:

– Dạng 1: (dfracx_1+x_2+…+x_nn geqslant sqrtx_1 x_2 x_3…x_n)

– Dạng 2: (x_1+x_2+…+x_n geqslant nsqrtx_1 x_2 x_3…x_n)

– Dạng 3: (left(dfracx_1+x_2+…+x_nnright)^n geqslant x_1 x_2 x_3…x_n)

– Dạng 4: (left(x_1+x_2+…+x_nright)left(frac1x_1+frac1x_2+…frac1x_n right) geqslant n^2)

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $x_1= x_2= x_3=…=x_n$.

b. Dạng đặc trưng của bất đẳng thức Cô-si

Là các trường hợp đặc biệt quan trọng của dạng bao quát ở trên khi n=2, n=3.

*

c. Một vài bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy

*

d. Chăm chú khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức Cô mê mẩn thì những số bắt buộc là phần đông số ko âm;Bất đẳng thức Côsi hay được áp dụng khi vào BĐT cần minh chứng có tổng và tích;Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là những số bởi nhau;Bất đẳng thức Côsi còn có hiệ tượng khác thường hay sử dụng.

3. Hệ trái của bất đẳng thức Cô-si

(x^2+y^2 geq 2 x y ; 2left(x^2+y^2right) geq(x+y)^2 ; sqrt2(x+y) geq sqrtx+sqrty)(x^2+y^2-x y geq frac3(x+y)^24)(x^2+y^2+z^2 geq x y+y z+z x)(3left(x^2+y^2+z^2right) geq(x+y+z)^2 geq 3(x y+y z+z x))(x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 y^2 geq x y z(x+y+z)+3left(x^4+y^4+z^4right) geq(x y+y z+z x)^2 geq 3 x y z(x+y+z))

4. Những dạng bài bác tập bất đẳng thức Cô-si

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức $A=x+frac7x$ với x > 0.

Xem thêm: Tổng hợp 10+ các ứng dụng trên máy tính win 10 cực kì dễ và nhanh

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0 với ta có: < x+frac7x geq 2 sqrtx cdot frac7x=2 sqrt7 > lốt “=” xảy ra khi còn chỉ khi (x=frac7x Leftrightarrow x^2=7 Leftrightarrow x=sqrt7) (do x>0).

Vậy (min A=2 sqrt7 Leftrightarrow x=sqrt7).

Bài 2: mang lại (x>0, y>0) thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại (frac1x+frac1y=frac12). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (A=sqrtx+sqrty).

Lời giải: Áp dụng bdt Cosi ta gồm < frac1x+frac1y geq 2 sqrtfrac1x cdot frac1y Leftrightarrow frac12 geq frac2sqrtx y Leftrightarrow sqrtx y geq 4 >Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại hai số (x>0, y>0) ta có: vệt “=” xảy ra khi và chỉ còn khi < left{beginarraylx=y frac1x+frac1y=frac12endarray right. Leftrightarrow x=y=4. >

Vậy $min A = 4$ khi và chỉ còn khi $x = y = 4$.

Bài 3: Ví dụ: cho (a), (b) là số dương thỏa mãn nhu cầu (a^2+b^2=2). Chứng minh rằng < (a+b)^5 geq 16 a b sqrtleft(1+a^2right)left(1+b^2right) >

Lời giải: Ta có ((a+b)^5=left(a^2+2 a b+b^2right)left(a^3+3 a b^2+3 a^2 b+b^3right))

Áp dụng bdt Côsi ta tất cả < beginaligned &a^2+2 a b+b^2 geq 2 sqrt2 a bleft(a^2+b^2right)=4 sqrta b text với &left(a^3+3 a b^2right)+left(3 a^2 b+b^3right) geq 2 sqrtleft(a^3+3 a b^2right)left(3 a^2 b+b^3right)=4 sqrta bleft(1+b^2right)left(a^2+1right) endaligned >

Suy ra (left(a^2+2 a b+b^2right)left(a^3+3 a b^2+3 a^2 b+b^3right) geq 16 a b sqrtleft(a^2+1right)left(b^2+1right))

Do kia ((a+b)^5 geq 16 a b sqrtleft(1+a^2right)left(1+b^2right)) (đpcm). Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi (a=b=1).

Bài 4: tìm GTLN của: $y=x^2(1-x) quad, x in(0,1)$

Lời giải: do $x, 1-x>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $$ 2 y=x^2(1-2 x)=x cdot x cdot(1-2 x) leqleft(fracx+x+1-2 x3right)^3=frac127 Rightarrow y leq frac154 $$ vệt ‘=’ xảy ra $Leftrightarrow x=1-2 x Leftrightarrow x=frac13$.

Vậy Max $y=frac127$ lúc $x=frac13$

Bài 5: tra cứu GTNN của: $y=x+frac1x-1, x>1$.

Lời giải: vì $x-1>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $$ y=(x-1)+frac1x-1+1 geq 2 sqrt(x-1) cdot frac1x-1+1=3 Rightarrow y geq 3 $$ lốt ‘=’ xẩy ra $Leftrightarrow x-1=frac1x-1 Leftrightarrow x=2$.

Vậy Min $y=3$ khi $x=2$.

Bài 6: mang đến 3 số dương (a, b), c, hãy bệnh minh: < left(a+frac1bright)left(b+frac1cright)left(c+frac1aright) geq 8 >

Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT Cosi, ta có: < beginaligned a+frac1b geq 2 sqrtfracab; b+frac1c geq 2 sqrtfracbc; c+frac1a geq 2 sqrtfracca endaligned>

Nhân theo vế 3 bdt này ta được Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi (a=b=c).

Bài 7: mang đến $a, b, c>0$. Bệnh minh:

a) $a^2+b^2+4 geqslant 2a+2b+ab$b) $a(1+b)+b(1+c)+c(1+a) geq 3 sqrt<3>a b c(1+sqrt<3>a b c)$c) $a sqrtb-1+b sqrta-1 leq a b$ cùng với $a, b geq 1$

Lời giải:

a) Áp dụng bât đẳng thức Cauchy ta có: $$ beginaligned &a^2+4 geq 4 a &b^2+4 geq 4 b &a^2+b^2 geq 2 a b. Endaligned $$ cộng lại ta được: $$ 2 a^2+2 b^2+8 geq 4 a+4 b+2 a b $$ vệt ‘=’ xẩy ra $ Leftrightarrow a=b=2$

b) Ta bao gồm : $$ a(1+b)+b(1+c)+c(1+a)=(a+b+c)+(a b+b c+c a) $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : $$ beginaligned &a+b+c geq 3 sqrt<3>a b c &a b+b c+c a geq 3 sqrt<3>a^2 b^2 c^2 endaligned $$ cộng lại ta được đpcm.

Dấu ‘=’ xảy ra $Leftrightarrow a=b=c$.

c) Ta có: $$a sqrtb-1=sqrta sqrta b-a leq fraca+a b-a2=fraca b2$$Tương tự: $$b sqrta-1 leq fraca b2$$ cộng lại ta đpcm.

Dấu ‘=’ xảy ra $Leftrightarrow a=b=2$.

Bài 8: minh chứng với tía số a, b, c ko âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì: < fracab+c+fracbc+a+fracca+b geq frac32 >

Nhận xét: bài toán đạt được dấu bởi khi và đưa ra khi $a = b = c = 1$.

Ta đã sử dụng cách thức làm trội làm sút như sau: < fracab+c+fracb+c4+frac12 a geq 3 sqrt<3>fracab+c cdot fracb+c4 cdot frac12 a=3 sqrt<3>frac18=frac32 >

Tương trường đoản cú ta gồm (fracbc+a+fracc+a4+frac12 b geq frac32) và (fracca+b+fraca+b4+frac12 c geq frac32).